Смешанные системы счисления

В ряде случаев числа, заданные в системе счисления с основанием Р, приходится изображать с помощью цифр другой системы счисления с основанием g, где Q<P. Такая ситуация возникает, например, когда в ЭВМ, способной непосредственно воспринимать только двоичные числа, необходимо изобразить десятичные числа, с которыми мы привыкли работать. В этих случаях используются смешанные системы счисления, в которых каждый коэффициент Р-ичного разложения числа записывается в Q-ичной системе. В такой системе Р называется старшим основанием, a Q — младшим основанием, а сама смешанная система называется (Q — Р-ичной.
Для того чтобы запись числа в смешанной системе счисления была однозначной, для представления любой Р-ичной цифры отводится;
одно и то же количество Q -ичных разрядов, достаточное для представления любого базисного числа Р-ичной системы. Так, в сме­шанной двоично-десятичной системе счисления для изображения каждой десятичной цифры отводится четыре двоичных разряда. Например, десятичное число х — 925 в двоично-десятичной системе запишется в виде 1001 0010 0101. Здесь последовательные четверки (тетрады) двоичных разрядов изображают цифры 9, 2, 5 записи числа в десятичной системе счисления. Следует обратить внимание, что хотя в двоично-десятичной записи числа и используются только цифры 0 и 1, эта запись отличается от двоичного изображения
данного числа. Например, приведенный выше двоичный код в двоичной системе счисления изображает число 2341, а не число 925. Условимся изображать принадлежность числа к (Q — Р)-ичной системе счисления с помощью нижнего индекса (Q — Р).

Аналогично рассмотренной выше двоично-десятичной системе можно использовать и другие смешанные системы при различи значениях Р и Q. Особого внимания заслуживает случай, когда Р = у где — целое положительное число. В этом случае запись какого-либо числа в смешанной системе тождественно совпадает с изображением этого числа в системе счисления с основанием Q (что не имеет места в двоично-десятичной системе в общем случае).

Все сказанное выше относительно целых чисел автоматически переносится и на случай произвольных чисел. Таким образом, изображение числа х в Р-ичной системе счисления в случае Р = Q является просто сокращенной записью изображения этого же числа х в g-ичной системе.

Рассмотренное выше свойство некоторых смешанных систем широко используется на практике для сокращенной записи чисел, заданных в системе счисления с небольшим основанием. Для этого в исходной записи числа разряды объединяются вправо и влево от точки в группы некоторой длины (добавляя в случае необходимости левее старшей или правее младшей значащих цифр соответствующее количество нулей), и каждая такая группа записывается одной циф­рой другой системы, основание которой равно соответствующей степени исходного основания. Например, двоичное изображение 101110.1 числа 46.5 можно записать короче с использованием цифр других систем, причем эта сокращенная запись одновременно является и изображением данного числа в соответствующей системе счисления:

1011 10. 10 = 232.2₄

101 110. 100 = 56.4₈

00101110. 1000 = 2е.8,₆ и т.д.