Позиционные системы счисления

Систему счисления, в которой значение цифры определяется ее местоположением (позицией) в изображении числа, называют позиционной.

Упорядоченный набор символов (цифр) {аа, av …, ап}, используемый для представления любых чисел в заданной позиционной системе счисления, называют ее алфавитом, число символов (цифр) алфавита р = п + 1 – ее основанием.

Основание позиционной системы счисления – количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.

Самой привычной для нас является десятичная система счисления. Ее алфавит – {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9}, а основание р = 10, т. е. в этой системе для записи любых чисел используется только десять разных символов (цифр). Эти цифры введены для обозначения первых десяти последовательных чисел, а все последующие числа начиная с 10 и т. д. обозначаются уже без использования новых цифр.

Десятичная система счисления основана на том, что 10 единиц каждого разряда объединяются в одну единицу соседнего старшего разряда, поэтому каждый разряд имеет вес, равный степени 10. Следовательно, значение одной и той же цифры определяется ее местоположением в изображении числа, характеризуемым степенью числа 10.

Например, в изображении числа 222.22 цифра 2 повторяется 5 раз, при этом первая слева цифра 2 означает количество сотен (ее вес равен 102); вторая – количество десятков (ее вес равен 10), третья – количество единиц (ее вес равен 10°), четвертая – количество десятых долей единицы (ее вес равен 10м) и пятая цифра – количество сотых долей единицы (ее вес равен 10 2), т. е. число 222.22 может быть разложено по степеням числа 10:

222.22 = 2 × 10² + 2 × 10¹ + 2 × 10° + 2 × 10^-1 + 2 × 10².

Таким образом, любое число можно представить в виде поли­нома путем разложения его по степеням числа 10:

А₁₀ = а_n × 10ⁿ + а_n-1 × 10^n-1 + … + а₁ × 10¹ + а₀ × 10° + а_-1 × 10^-1 + … + а_—m × 10^—m…,

За основание системы можно принять любое натуральное чис­ло – 2, 3, 4 и т. д. Обычно в качестве алфавита берутся последова­тельные целые числа от 0 до (р — 1) включительно. Для записи произвольного числа в двоичной системе счисления используют­ся цифры 0, 1, троичной – 0, 1,2, пятеричной – 0, 1, 2, 3, 4 и т. д. В тех случаях, когда общепринятых (арабских) цифр не хва­тает для обозначения всех символов алфавита системы счисления с основанием р>10, используют буквенное обозначение цифр а, b, с, d, e, f.

Для примера в таблице приведены алфавиты некоторых систем счисления.

Все известные позиционные системы счисления являются аддитивно-мультипликативными. Особенно отчетливо аддитивно-мультипликативный способ образования чисел из базисных выражен в числительных русского языка, например пятьсот шестьдесят восемь (т.е. пять сотен плюс шесть десятков плюс восемь).

Системы счисления используются для построения на их основе различных кодов в системах передачи, хранения и преобразования информации.

Код (от лат. codex) – система условных знаков (символов) для представления различной информации.

Любому дискретному сообщению или знаку сообщения можно приписать какой-либо порядковый номер. Измерение аналоговой величины, выражающееся в сравнении ее с образцовыми мерами, также приводит к числовому представлению информации. Передача или хранение сообщений при этом сводится к передаче или хранению чисел. Числа можно выразить в какой-либо системе счисления. Таким образом, будет получен один из кодов, основанный на данной системе счисления.

Каждому разряду числа можно поставить в соответствие какой-либо параметр электрического сигнала, например амплитуду.

Анализ систем счисления и построенных на их основе кодов с позиций применения в системах передачи, хранения и преобразования информации показывает, что чем больше основание системы счисления, тем меньшее число разрядов требуется для представления данного числа, а следовательно, и меньшее время для его передачи.

Однако с ростом основания существенно повышаются требования к аппаратуре формирования и распознавания элементарных сигналов, соответствующих различным символам. Логические элементы вычислительных устройств в этом случае должны иметь большее число устойчивых состояний.

С учетом этих обстоятельств в качестве показателя эффективности системы может быть выбрано число, равное произведению количества различных символов q на количество разрядов N для выражения любого числа. Тогда наиболее эффективной будет система, обеспечивающая минимум значения данного показателя.