Теоретической базой при проектировании современных цифровых устройств, предназначенных для целей числовых вычислений, решения логических задач и задач управления, являются булева алгебра, двоичная арифметика и теория конечных автоматов. В цифровых устройствах широко используется простейший раздел математической логики – исчисление высказываний или алгебра логики. Алгебру логики часто называют булевой алгеброй в честь английского математика Джорджа Буля. Логика – это наука о законах и формах мышления. Математическая логика занимается применением формальных математических методов для решения логических задач. Этапы развития логики:
1 этап – формальная логика. Основатель – Аристотель.
2 этап – математическая логика. Основатель – немецкий ученый и философ Лейбниц, предпринял попытку логических вычислений.
3 этап – математическая логика (булева логика). Основатель – английский математик Джордж Буль, ввел алфавит, орфографию, грамматику для математической логики. Основная идея его системы – применение алгебраических методов для решения логических задач.
Законы логики отражают в сознании человека свойства, связи и отношения объектов окружающего мира. Логика позволяет строить формальные модели окружающего мира, отвлекаясь от содержательной стороны. Алгебра логики – это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними. Базовым понятием булевой алгебры является понятие высказывания (суждения) – любое утверждение, рассматриваемое только с точки зрения его истинности или ложности (форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о реальных предметах, их свойствах и отношениях между ними). В булевой алгебре не существует истинно-ложных высказываний. Высказывания можно рассматривать как логическую переменную, которая может принимать различные значения. Исчисление высказываний основано на том, что их можно рассматривать как двоичные переменные, которые могут принимать одно из двух своих значений. Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными. Высказывания, не являющиеся составными, называются элементарными. Высказывания называются простыми, если значение его истинности не зависит от значений истинности других высказываний, и сложным, если значение его истинности зависит от других высказываний. Сложное высказывание можно рассматривать логической функцией, зависящей от простых высказываний и принимающей также два значения (истинна, ложь). В свою очередь сложные высказывания могут служить переменными (аргументами) более сложных функций.
Логические операции и таблицы истинности
|