Äëÿ èçîáðàæåíèÿ (èëè ïðåäñòàâëåíèÿ) ÷èñåë â íàñòîÿùåå âðåìÿ èñïîëüçóþòñÿ â îñíîâíîì ïîçèöèîííûå ñèñòåìû ñ÷èñëåíèÿ. Ïðèâû÷íîé äëÿ âñåõ ÿâëÿåòñÿ äåñÿòè÷íàÿ ñèñòåìà ñ÷èñëåíèÿ.  ýòîé ñèñòåìå äëÿ çàïèñè ëþáûõ ÷èñåë èñïîëüçóåòñÿ òîëüêî äåñÿòü ðàçíûõ çíàêîâ (öèôð): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ýòè öèôðû ââåäåíû äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ïåðâûõ äåñÿòè ïîñëåäîâàòåëüíûõ ÷èñåë, à ñëåäóþùåå ÷èñëî 10 è ò.ä. îáîçíà÷àåòñÿ óæå áåç èñïîëüçîâàíèÿ íîâûõ öèôð. Îäíàêî ââåäåíèåì ýòîãî îáîçíà÷åíèÿ ñäåëàí âàæíûé øàã â ïîñòðîåíèè ñèñòåìû ñ÷èñëåíèÿ: çíà÷åíèå êàæäîé öèôðû ïîñòàâëåíî â çàâèñèìîñòü îò òîãî ìåñòà, ãäå îíà ñòîèò â èçîáðàæåíèè ÷èñëà.
Òàêèì îáðàçîì, ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ ïîçèöèîííîé, åñëè çíà÷åíèå 1 êàæäîé öèôðû (åå âåñ) èçìåíÿåòñÿ â çàâèñèìîñòè îò åå ïîëîæåíèÿ (ïîçèöèè) â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè öèôð, èçîáðàæàþùèõ ÷èñëî.
Äåñÿòè÷íàÿ ïîçèöèîííàÿ ñèñòåìà ñ÷èñëåíèÿ îñíîâàíà íà òîì, ÷òî äåñÿòü åäèíèö êàæäîãî ðàçðÿäà îáúåäèíÿþòñÿ â îäíó åäèíèöó ñîñåäíåãî ñòàðøåãî ðàçðÿäà. Òàêèì îáðàçîì, êàæäûé ðàçðÿä èìååò âåñ, ðàâíûé ñòåïåíè 10. Íàïðèìåð, â çàïèñè ÷èñëà 343.32 öèôðà 3 ïîâòîðåíà òðè ðàçà, ïðè ýòîì ñàìàÿ ëåâàÿ öèôðà 3 îçíà÷àåò êîëè÷åñòâî ñîòåí (åå âåñ ðàâåí 102); öèôðà 3. ñòîÿùàÿ ïåðåä òî÷êîé, îçíà÷àåò êîëè÷åñòâî åäèíèö (åå âåñ ðàâåí 10 ), à ñàìàÿ ïðàâàÿ öèôðà 3 — êîëè÷åñòâî äåñÿòûõ äîëåé åäèíèöû (åå âåñ ðàâåí 10).
×èñëî Ê åäèíèö êàêîãî-ëèáî ðàçðÿäà, îáúåäèíÿåìûõ â åäèíèöó áîëåå ñòàðøåãî ðàçðÿäà, íàçûâàþò îñíîâàíèåì ïîçèöèîííîé ñèñòåìû ñ÷èñëåíèÿ, à ñàìà ñèñòåìà ñ÷èñëåíèÿ íàçûâàåòñÿ Ê-è÷íîé. Íàïðèìåð, îñíîâàíèåì äåñÿòè÷íîé ñèñòåìû ñ÷èñëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî 10; äâîè÷íîé — ÷èñëî 2; òðîè÷íîé — ÷èñëî 3 è ò.ä.
×èñëà ìîæíî çàïèñàòü êàê ñóììû ñòåïåíåé íå òîëüêî ÷èñëà 10, íî è ëþáîãî äðóãîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà, áîëüøåãî 1. Íàïðèìåð, â Äðåâíåì Âàâèëîíå èñïîëüçîâàëàñü ñèñòåìà ñ÷èñëåíèÿ ñ îñíîâàíèåì 60. Äåëåíèå ÷àñà íà 60 ìèíóò, à ìèíóòû íà 60 ñåêóíä çàèìñòâîâàíî èìåííî èç ýòîé ñèñòåìû ñ÷èñëåíèÿ. À òî, ÷òî ÷åëîâå÷åñòâî âûáðàëî â êà÷åñòâå îñíîâàíèÿ ñèñòåìû ñ÷èñëåíèÿ ÷èñëî 10, âåðîÿòíî, ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ïðèðîäà íàäåëèëà ëþäåé äåñÿòüþ ïàëüöàìè.
Âñå èçâåñòíûå ïîçèöèîííûå ñèñòåìû ñ÷èñëåíèÿ ÿâëÿþòñÿ àääèòèâíî-ìóëüòèïëèêàòèâíûìè. Îñîáåííî îò÷åòëèâî àääèòèâíî-ìóëüòèïëèêàòèâíûé ñïîñîá îáðàçîâàíèÿ ÷èñåë èç áàçèñíûõ âûðàæåí â ÷èñëèòåëüíûõ ðóññêîãî ÿçûêà, íàïðèìåð ïÿòüñîò øåñòüäåñÿò âîñåìü (ò.å. ïÿòü ñîòåí ïëþñ øåñòü äåñÿòêîâ ïëþñ âîñåìü).
Àðèôìåòè÷åñêèå äåéñòâèÿ íàä ÷èñëàìè â ëþáîé ïîçèöèîííîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäÿòñÿ ïî òåì æå ïðàâèëàì, ÷òî è â äåñÿòè÷íîé ñèñòåìå, òàê êàê âñå îíè îñíîâûâàþòñÿ íà ïðàâèëàõ âûïîëíåíèÿ äåéñòâèé íàä ñîîòâåòñòâóþùèìè ïîëèíîìàìè, ïðè ýòîì íóæíî òîëüêî ïîëüçîâàòüñÿ òåìè òàáëèöàìè ñëîæåíèÿ óìíîæåíèÿ, êîòîðûå èìåþò ìåñòî ïðè äàííîì îñíîâàíèè ñèñòåìû ñ÷èñëåíèÿ.
Âî âñåõ ïîçèöèîííûõ ñèñòåìàõ ñ÷èñëåíèÿ ñ ëþáûìè îñíîâàíèåì Ê óìíîæåíèÿ íà ÷èñëà âèäà C1 , ãäå ò — öåëîå ÷èñëî ñâîäèòñÿ ïðîñòî ê ïåðåíåñåíèþ çàïÿòîé ó ìíîæèìîãî íà ò ðàçðÿäîâ âïðàâî èëè âëåâî (â çàâèñèìîñòè îò çíàêà ò), òàê æå êàê è äåñÿòè÷íîé ñèñòåìå.
Äëÿ óêàçàíèÿ òîãî, â êàêîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ çàïèñàíî ÷èñëî, óñëîâèìñÿ ïðè åãî èçîáðàæåíèè îñíîâàíèå ñèñòåìû ñ÷èñëåíèÿ óêàçûâàòü â âèäå íèæíåãî èíäåêñà ïðè íåì, íàïðèìåð, 35.648.
|