Ñèñòåìó ñ÷èñëåíèÿ, â êîòîðîé çíà÷åíèå öèôðû îïðåäåëÿåòñÿ åå ìåñòîïîëîæåíèåì (ïîçèöèåé) â èçîáðàæåíèè ÷èñëà, íàçûâàþò ïîçèöèîííîé.
Óïîðÿäî÷åííûé íàáîð ñèìâîëîâ (öèôð) {àà, av ..., àï}, èñïîëüçóåìûé äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ëþáûõ ÷èñåë â çàäàííîé ïîçèöèîííîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ, íàçûâàþò åå àëôàâèòîì, ÷èñëî ñèìâîëîâ (öèôð) àëôàâèòà ð = ï + 1 – åå îñíîâàíèåì.
Îñíîâàíèå ïîçèöèîííîé ñèñòåìû ñ÷èñëåíèÿ – êîëè÷åñòâî ðàçëè÷íûõ öèôð, èñïîëüçóåìûõ äëÿ èçîáðàæåíèÿ ÷èñåë â äàííîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ.
Ñàìîé ïðèâû÷íîé äëÿ íàñ ÿâëÿåòñÿ äåñÿòè÷íàÿ ñèñòåìà ñ÷èñëåíèÿ. Åå àëôàâèò – {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9}, à îñíîâàíèå ð = 10, ò. å. â ýòîé ñèñòåìå äëÿ çàïèñè ëþáûõ ÷èñåë èñïîëüçóåòñÿ òîëüêî äåñÿòü ðàçíûõ ñèìâîëîâ (öèôð). Ýòè öèôðû ââåäåíû äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ïåðâûõ äåñÿòè ïîñëåäîâàòåëüíûõ ÷èñåë, à âñå ïîñëåäóþùèå ÷èñëà íà÷èíàÿ ñ 10 è ò. ä. îáîçíà÷àþòñÿ óæå áåç èñïîëüçîâàíèÿ íîâûõ öèôð.
Äåñÿòè÷íàÿ ñèñòåìà ñ÷èñëåíèÿ îñíîâàíà íà òîì, ÷òî 10 åäèíèö êàæäîãî ðàçðÿäà îáúåäèíÿþòñÿ â îäíó åäèíèöó ñîñåäíåãî ñòàðøåãî ðàçðÿäà, ïîýòîìó êàæäûé ðàçðÿä èìååò âåñ, ðàâíûé ñòåïåíè 10. Ñëåäîâàòåëüíî, çíà÷åíèå îäíîé è òîé æå öèôðû îïðåäåëÿåòñÿ åå ìåñòîïîëîæåíèåì â èçîáðàæåíèè ÷èñëà, õàðàêòåðèçóåìûì ñòåïåíüþ ÷èñëà 10.
Íàïðèìåð, â èçîáðàæåíèè ÷èñëà 222.22 öèôðà 2 ïîâòîðÿåòñÿ 5 ðàç, ïðè ýòîì ïåðâàÿ ñëåâà öèôðà 2 îçíà÷àåò êîëè÷åñòâî ñîòåí (åå âåñ ðàâåí 102); âòîðàÿ – êîëè÷åñòâî äåñÿòêîâ (åå âåñ ðàâåí 10), òðåòüÿ – êîëè÷åñòâî åäèíèö (åå âåñ ðàâåí 10°), ÷åòâåðòàÿ – êîëè÷åñòâî äåñÿòûõ äîëåé åäèíèöû (åå âåñ ðàâåí 10ì) è ïÿòàÿ öèôðà – êîëè÷åñòâî ñîòûõ äîëåé åäèíèöû (åå âåñ ðàâåí 10 2), ò. å. ÷èñëî 222.22 ìîæåò áûòü ðàçëîæåíî ïî ñòåïåíÿì ÷èñëà 10:
222.22 = 2 × 102 + 2 × 101 + 2 × 10° + 2 × 10-1 + 2 × 102.
Òàêèì îáðàçîì, ëþáîå ÷èñëî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïîëèíîìà ïóòåì ðàçëîæåíèÿ åãî ïî ñòåïåíÿì ÷èñëà 10:
À10 = àn × 10n + àn-1 × 10n-1 + ... + à1 × 101 + à0 × 10° + à-1 × 10-1 + ... + à-m × 10-m...,
Çà îñíîâàíèå ñèñòåìû ìîæíî ïðèíÿòü ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî – 2, 3, 4 è ò. ä. Îáû÷íî â êà÷åñòâå àëôàâèòà áåðóòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíûå öåëûå ÷èñëà îò 0 äî (ð - 1) âêëþ÷èòåëüíî. Äëÿ çàïèñè ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà â äâîè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ èñïîëüçóþòñÿ öèôðû 0, 1, òðîè÷íîé – 0, 1,2, ïÿòåðè÷íîé – 0, 1, 2, 3, 4 è ò. ä.  òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà îáùåïðèíÿòûõ (àðàáñêèõ) öèôð íå õâàòàåò äëÿ îáîçíà÷åíèÿ âñåõ ñèìâîëîâ àëôàâèòà ñèñòåìû ñ÷èñëåíèÿ ñ îñíîâàíèåì ð>10, èñïîëüçóþò áóêâåííîå îáîçíà÷åíèå öèôð à, b, ñ, d, e, f.
Äëÿ ïðèìåðà â òàáëèöå ïðèâåäåíû àëôàâèòû íåêîòîðûõ ñèñòåì ñ÷èñëåíèÿ.
Îñíîâàíèå |
Ñèñòåìà ñ÷èñëåíèÿ |
Àëôàâèò ñèñòåìû ñ÷èñëåíèÿ |
2 |
Äâîè÷íàÿ |
0,1 |
3 |
Òðîè÷íàÿ |
0,1,2 |
4 |
×åòâåðè÷íàÿ |
0,1,2,3 |
5 |
Ïÿòåðè÷íàÿ |
0,1,2,3,4 |
8 |
Âîñüìåðè÷íàÿ |
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 |
10 |
Äåñÿòè÷íàÿ |
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 |
12 |
Äâåíàäöàòåðè÷íàÿ |
0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, À, Â |
16 |
Øåñòíàäöàòåðè÷íàÿ |
0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9, À, Â, Ñ, D, E, F |
Âñå èçâåñòíûå ïîçèöèîííûå ñèñòåìû ñ÷èñëåíèÿ ÿâëÿþòñÿ àääèòèâíî-ìóëüòèïëèêàòèâíûìè. Îñîáåííî îò÷åòëèâî àääèòèâíî-ìóëüòèïëèêàòèâíûé ñïîñîá îáðàçîâàíèÿ ÷èñåë èç áàçèñíûõ âûðàæåí â ÷èñëèòåëüíûõ ðóññêîãî ÿçûêà, íàïðèìåð ïÿòüñîò øåñòüäåñÿò âîñåìü (ò.å. ïÿòü ñîòåí ïëþñ øåñòü äåñÿòêîâ ïëþñ âîñåìü).
Ñèñòåìû ñ÷èñëåíèÿ èñïîëüçóþòñÿ äëÿ ïîñòðîåíèÿ íà èõ îñíîâå ðàçëè÷íûõ êîäîâ â ñèñòåìàõ ïåðåäà÷è, õðàíåíèÿ è ïðåîáðàçîâàíèÿ èíôîðìàöèè.
Êîä (îò ëàò. codex) – ñèñòåìà óñëîâíûõ çíàêîâ (ñèìâîëîâ) äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ðàçëè÷íîé èíôîðìàöèè.
Ëþáîìó äèñêðåòíîìó ñîîáùåíèþ èëè çíàêó ñîîáùåíèÿ ìîæíî ïðèïèñàòü êàêîé-ëèáî ïîðÿäêîâûé íîìåð. Èçìåðåíèå àíàëîãîâîé âåëè÷èíû, âûðàæàþùååñÿ â ñðàâíåíèè åå ñ îáðàçöîâûìè ìåðàìè, òàêæå ïðèâîäèò ê ÷èñëîâîìó ïðåäñòàâëåíèþ èíôîðìàöèè. Ïåðåäà÷à èëè õðàíåíèå ñîîáùåíèé ïðè ýòîì ñâîäèòñÿ ê ïåðåäà÷å èëè õðàíåíèþ ÷èñåë. ×èñëà ìîæíî âûðàçèòü â êàêîé-ëèáî ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, áóäåò ïîëó÷åí îäèí èç êîäîâ, îñíîâàííûé íà äàííîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ.
Êàæäîìó ðàçðÿäó ÷èñëà ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå êàêîé-ëèáî ïàðàìåòð ýëåêòðè÷åñêîãî ñèãíàëà, íàïðèìåð àìïëèòóäó.
Àíàëèç ñèñòåì ñ÷èñëåíèÿ è ïîñòðîåííûõ íà èõ îñíîâå êîäîâ ñ ïîçèöèé ïðèìåíåíèÿ â ñèñòåìàõ ïåðåäà÷è, õðàíåíèÿ è ïðåîáðàçîâàíèÿ èíôîðìàöèè ïîêàçûâàåò, ÷òî ÷åì áîëüøå îñíîâàíèå ñèñòåìû ñ÷èñëåíèÿ, òåì ìåíüøåå ÷èñëî ðàçðÿäîâ òðåáóåòñÿ äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ äàííîãî ÷èñëà, à ñëåäîâàòåëüíî, è ìåíüøåå âðåìÿ äëÿ åãî ïåðåäà÷è.
Îäíàêî ñ ðîñòîì îñíîâàíèÿ ñóùåñòâåííî ïîâûøàþòñÿ òðåáîâàíèÿ ê àïïàðàòóðå ôîðìèðîâàíèÿ è ðàñïîçíàâàíèÿ ýëåìåíòàðíûõ ñèãíàëîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçëè÷íûì ñèìâîëàì. Ëîãè÷åñêèå ýëåìåíòû âû÷èñëèòåëüíûõ óñòðîéñòâ â ýòîì ñëó÷àå äîëæíû èìåòü áîëüøåå ÷èñëî óñòîé÷èâûõ ñîñòîÿíèé.
Ñ ó÷åòîì ýòèõ îáñòîÿòåëüñòâ â êà÷åñòâå ïîêàçàòåëÿ ýôôåêòèâíîñòè ñèñòåìû ìîæåò áûòü âûáðàíî ÷èñëî, ðàâíîå ïðîèçâåäåíèþ êîëè÷åñòâà ðàçëè÷íûõ ñèìâîëîâ q íà êîëè÷åñòâî ðàçðÿäîâ N äëÿ âûðàæåíèÿ ëþáîãî ÷èñëà. Òîãäà íàèáîëåå ýôôåêòèâíîé áóäåò ñèñòåìà, îáåñïå÷èâàþùàÿ ìèíèìóì çíà÷åíèÿ äàííîãî ïîêàçàòåëÿ.
|