|
Систему счисления, в которой значение цифры определяется ее местоположением (позицией) в изображении числа, называют позиционной.
Упорядоченный набор символов (цифр) {аа, av ..., ап}, используемый для представления любых чисел в заданной позиционной системе счисления, называют ее алфавитом, число символов (цифр) алфавита р = п + 1 – ее основанием.
Основание позиционной системы счисления – количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.
Самой привычной для нас является десятичная система счисления. Ее алфавит – {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9}, а основание р = 10, т. е. в этой системе для записи любых чисел используется только десять разных символов (цифр). Эти цифры введены для обозначения первых десяти последовательных чисел, а все последующие числа начиная с 10 и т. д. обозначаются уже без использования новых цифр.
Десятичная система счисления основана на том, что 10 единиц каждого разряда объединяются в одну единицу соседнего старшего разряда, поэтому каждый разряд имеет вес, равный степени 10. Следовательно, значение одной и той же цифры определяется ее местоположением в изображении числа, характеризуемым степенью числа 10.
Например, в изображении числа 222.22 цифра 2 повторяется 5 раз, при этом первая слева цифра 2 означает количество сотен (ее вес равен 102); вторая – количество десятков (ее вес равен 10), третья – количество единиц (ее вес равен 10°), четвертая – количество десятых долей единицы (ее вес равен 10м) и пятая цифра – количество сотых долей единицы (ее вес равен 10 2), т. е. число 222.22 может быть разложено по степеням числа 10:
222.22 = 2 × 102 + 2 × 101 + 2 × 10° + 2 × 10-1 + 2 × 102.
Таким образом, любое число можно представить в виде полинома путем разложения его по степеням числа 10:
А10 = аn × 10n + аn-1 × 10n-1 + ... + а1 × 101 + а0 × 10° + а-1 × 10-1 + ... + а-m × 10-m...,
За основание системы можно принять любое натуральное число – 2, 3, 4 и т. д. Обычно в качестве алфавита берутся последовательные целые числа от 0 до (р - 1) включительно. Для записи произвольного числа в двоичной системе счисления используются цифры 0, 1, троичной – 0, 1,2, пятеричной – 0, 1, 2, 3, 4 и т. д. В тех случаях, когда общепринятых (арабских) цифр не хватает для обозначения всех символов алфавита системы счисления с основанием р>10, используют буквенное обозначение цифр а, b, с, d, e, f.
Для примера в таблице приведены алфавиты некоторых систем счисления.
|
Основание |
Система счисления |
Алфавит системы счисления |
|
2 |
Двоичная |
0,1 |
|
3 |
Троичная |
0,1,2 |
|
4 |
Четверичная |
0,1,2,3 |
|
5 |
Пятеричная |
0,1,2,3,4 |
|
8 |
Восьмеричная |
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 |
|
10 |
Десятичная |
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 |
|
12 |
Двенадцатеричная |
0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В |
|
16 |
Шестнадцатеричная |
0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9, А, В, С, D, E, F |
Все известные позиционные системы счисления являются аддитивно-мультипликативными. Особенно отчетливо аддитивно-мультипликативный способ образования чисел из базисных выражен в числительных русского языка, например пятьсот шестьдесят восемь (т.е. пять сотен плюс шесть десятков плюс восемь).
Системы счисления используются для построения на их основе различных кодов в системах передачи, хранения и преобразования информации.
Код (от лат. codex) – система условных знаков (символов) для представления различной информации.
Любому дискретному сообщению или знаку сообщения можно приписать какой-либо порядковый номер. Измерение аналоговой величины, выражающееся в сравнении ее с образцовыми мерами, также приводит к числовому представлению информации. Передача или хранение сообщений при этом сводится к передаче или хранению чисел. Числа можно выразить в какой-либо системе счисления. Таким образом, будет получен один из кодов, основанный на данной системе счисления.
Каждому разряду числа можно поставить в соответствие какой-либо параметр электрического сигнала, например амплитуду.
Анализ систем счисления и построенных на их основе кодов с позиций применения в системах передачи, хранения и преобразования информации показывает, что чем больше основание системы счисления, тем меньшее число разрядов требуется для представления данного числа, а следовательно, и меньшее время для его передачи.
Однако с ростом основания существенно повышаются требования к аппаратуре формирования и распознавания элементарных сигналов, соответствующих различным символам. Логические элементы вычислительных устройств в этом случае должны иметь большее число устойчивых состояний.
С учетом этих обстоятельств в качестве показателя эффективности системы может быть выбрано число, равное произведению количества различных символов q на количество разрядов N для выражения любого числа. Тогда наиболее эффективной будет система, обеспечивающая минимум значения данного показателя.
|
